Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C和點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒

3

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△ODE的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得AC的坐標(biāo)，結(jié)合B的坐標(biāo)，將三點(diǎn)代入解析式方程，可得abc的值，進(jìn)而可得解析式；
（2）將解析式化為頂點(diǎn)式，易得M的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F，將四邊形AOCM分割成三角形，分別求出其面積再求和可得四邊形AOCM的面積；
（3）根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間，根據(jù)題意分三種情況討論，依次分析可得答案．

解答：解：（1）令x=0，則y=4；
令y=0則x=3．
∴A（3，0），C（0，4）
∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，4），
∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²+bx+4
又∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），
∴

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得a=-

4

3

，b=

8

3

，
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-

4

3

x2+

8

3

x+4．（3分）

（2）∵y=-

4

3

x2+

8

3

x+4
=-

4

3

(x-1)2+

16

3

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，

16

3

)．（4分）
過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F，
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM=

1

2

×(3-1)×

16

3

+

1

2

×(4+

16

3

)×1=10，
∴四邊形AOCM的面積為10．（7分）

（3）根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒）現(xiàn)分情況討論如下：
ⅰ）當(dāng)0＜t≤1秒時(shí)，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t2；（8分）
ⅱ）當(dāng)1＜t≤2秒時(shí)，
∴S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t2+

27

5

t（10分）
ⅲ）當(dāng)2＜t＜

24

11

秒時(shí)，
∴S=S_△AOE-S_△AOD=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．