Question

20．如圖，在菱形ABCD中，∠B=120°，AD=10，AD的中點(diǎn)為P，AC上有動(dòng)點(diǎn)Q，連接PQ，DQ，求PQ+DQ的最小值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 連接BD，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，然后判斷出△ABD是等邊三角形，連接PB，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，PB與AC的交點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)Q，QP+QD的最小值=PB，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出PB即可得解．

解答 ①解：如圖1，連接BD、PB．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的鄰邊相等），
∴△ABD是等邊三角形，
∵B、D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，圖1
∴PB與AC的交點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)Q，PQ+QD的最小值=PB，
∵P是AD的中點(diǎn)，
∴PB⊥AD，
∵AD=10，
∴PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×10=5$\sqrt{3}$．
②證明：如圖2，在線段AC上取一點(diǎn)異于點(diǎn)Q的點(diǎn)Q′，連接PQ′、BQ′．
在△Q′PB中，∵Q′P+Q′B＞PB
∴Q′P+Q′B＞PQ+QB，
∵B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，圖2
∴QD=BQ，
∴Q′P+Q′B＞QP+QD
∴QP+QD最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的邊角之間關(guān)系，熟記性質(zhì)與最短路線的確定方法找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．