Question

【題目】在一次數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題目：“如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，將AB沿BE折疊，使A點(diǎn)落在BD上的點(diǎn)G處，將邊CD沿DF折疊，使點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)H處，求證：四邊形BEDF是平行四邊形”．小麗選擇了先證明△DEG≌△BFH，再證明DE=BF，進(jìn)而得到四邊形BEDF是平行四邊形，小明向老師提出了另一種證明方法．
（1）小麗證明四邊形BEDF是平行四邊形的依據(jù)是；

（2）按小明的想法寫出證明過(guò)程；
（3）當(dāng)學(xué)生們完成了證明后，老師又提出如下問(wèn)題，連接EH，F(xiàn)G，若AB=6，BC=8，試求四邊形EGFH的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
（2）證明：由翻折的性質(zhì)可知：∠ABE=∠DBE═ ，EG=EA，F(xiàn)H=FC

∠BDF═∠CDF= ．

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠DBE=∠BDF，

∴BE∥DF，

又DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

（3）解：連接EH、GF，如圖所示：

∵∠A=90°，AD=BC=8，AB=6，GB=AB=6，

∴BD= =10，

∴DG=BD﹣GB=4，

設(shè)AE=x，則DE=8﹣x，EG=AE=x，

在Rt△DGE中，由勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，

解得x=3，

∴AE=3，

同理FH=3，

由（1）得：EG=FH，

∵EG⊥BD，F(xiàn)H⊥BD，

∴EG∥FH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG=FH=3，

∵BG=DH=6，

∴DG=BH=4，

∴GH=2，

在Rt△EGH中， ，

四邊形EGFH的周長(zhǎng)為 ．

【解析】（1）解：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，∠A=∠C=90°，

∴∠EDG=∠FBH，

由折疊的性質(zhì)得：∠EGB=∠A=90°，GB=AB，HD=CD，

∴∠DGE=∠BHF=90°，DG=BH，

在△DEG和△BFH中， ，

∴△DEG≌△BFH（ASA），

∴DE=BF，

又∵DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

所以答案是：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．