Question

17．如圖，A（-1，0）、B（2，-3）兩點(diǎn)在一次函數(shù)y₁=-x+m與二次函數(shù)y₂=ax²+bx-3的圖象上．
（1）求m的值和二次函數(shù)的解析式；
（2）請直接寫出使y₁＞y₂時(shí)自變量x的取值范圍；
（3）是否存在直線AB下方的拋物線上的一點(diǎn)P，使△ABP的面積等于6？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）、B（2，-3）都在一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上，一次函數(shù)只有一個(gè)待定系數(shù)m，所以將A（-1，0）、B（2，-3）中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)代入y₂=-x+m即可；二次函數(shù)y₁=ax²+bx-3有兩個(gè)待定系數(shù)a、b，所以需要A（-1，0）、B（2，-3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)都代入y₁=ax²+bx-3，用二元一次方程組解出a、b的值．
（2）直接觀察圖象中同一個(gè)橫坐標(biāo)對應(yīng)的y₁、y₂的值，直接得到答案；

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y₂=-x+m得：0=-（-1）+m，
∴m=-1．
把A（-1，0）、B（2，-3）兩點(diǎn)代入y₁=ax²+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{4a+2b-3=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₂=x²-2x-3；
（2）∵y₁=x²-2x-3=（x+1）（x-3），拋物線開口向上，
∴A（-1，0），B（2，-3）
∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，-1＜x＜2；
（3）不存在直線AB下方的拋物線上的一點(diǎn)P，使△ABP的面積等于6，
理由如下，假設(shè)存在P點(diǎn)，作PC⊥x軸，交AB于C點(diǎn)，
如圖，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a²-2a-3），C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a-1），
PC的長為-a-1-（a²-2a-3）=-a²+a+2，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$PC•（x_B-x_A）=6
即$\frac{1}{2}$（-a²+a+2）（2+1）=6，
解得a=2，a=-1，
P（2，-3）與B點(diǎn)重合，P點(diǎn)是（-1，0）與A點(diǎn)重合，
假設(shè)不成立，∴P點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評 本題考查了直線與拋物線解析式的求法，拋物線的相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是熟練掌握拋物線頂點(diǎn)式與交點(diǎn)式與性質(zhì)之間的聯(lián)系．