Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C₁：y=x²繞點(diǎn)（1，0）旋轉(zhuǎn)180°后，得到拋物線C₂，定義拋物線C₁和C₂上位于-2≤x≤2范圍內(nèi)的部分為圖象C₃．若一次函數(shù)y=kx+k-1（k＞0）的圖象與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的范圍是：-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15．

Answer 1

分析 如圖，由題意圖象C₂的解析式為y=-（x-2）²，圖象C₃是圖中兩根紅線之間的C₁、C₂上的部分圖象，分五種情形討論即可．

解答 解：如圖，由題意圖象C₂的解析式為y=-（x-2）²，圖象C₃是圖中兩根紅線之間的C₁、C₂上的部分圖象．

由-2$≤\\;x≤2$x≤2，則A（2，4），B（-2，-16），D（2，0）．
因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+k-1（k＞0）的圖象與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)
①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，滿足條件，4=2k+k-1，解得k=$\frac{5}{3}$，
②當(dāng)直線與拋物線C₁切時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+k-1}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-k+1=0，∵△=0，
∴k²+4k-4=0，解得k=$-2+2\sqrt{2}$或-2-2$\sqrt{2}$（舍棄），
觀察圖象可知當(dāng)-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$時(shí)，直線與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)．
③當(dāng)直線與拋物線C₂相切時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-2）^{2}}\\{y=kx+k-1}\end{array}\right.$，消去y，得到x²-（4-k）x+3+k=0，∵△=0，
∴（4-k）²-4（3+k）=0，解得k=6-4$\sqrt{2}$或6+4$\sqrt{2}$（舍棄），
④當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，0）時(shí)，0=2k+k-1，解得k=$\frac{1}{3}$，
觀察圖象可知，$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6時(shí)，直線與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)．
⑤當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，-16）時(shí)，-16=-2k+k-1，解得k=15，
觀察圖象可知，k≥15時(shí)，直線與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15時(shí)，直線與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)．
故答案為-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)變換、二元二次方程組、根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)C₂的解析式，搞清楚圖象C₃，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．