Question

（2012•豐潤區(qū)二模）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等．
（1）求∠EAF的度數(shù)；
（2）在圖①中，連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH位置，得到圖②．求證：MN²=MB²+ND²；
（3）在圖②中，若BE=4，DF=6，BM=3

2

，求AG，MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性質(zhì)即可求出∠EAF=

1

2

∠BAD=45°；
（2）連接MH，由旋轉(zhuǎn)知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，由旋轉(zhuǎn)知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，所以∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，所以MH²=HB²+ND²，所以MN²=MB²+ND²；
（3）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，設(shè)AG=x，則CE=x-4，CF=x-6．因?yàn)镃E²+CF²=EF²，所以（x-4）²+（x-6）²=10²．解這個(gè)方程，求出x的值即可得到AG=12，在（2）中，MN²=MB²+ND²，MN=a，則a2=(3

2

)2+(12

2

-3

2

-a)2，所以a=5

2

．即MN=5

2

．

解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE，
∴∠BAE=∠GAE．
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°
∴∠EAF=

1

2

∠BAD=45°；
（2）證明：連接MH，
由旋轉(zhuǎn)知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，
∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°
由旋轉(zhuǎn)知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH²=HB²+ND²，
∴MN²=MB²+ND²；
（3）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，則EF=10
設(shè)AG=x，則CE=x-4，CF=x-6．
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解這個(gè)方程，得x₁=12，x₂=-2（舍去）．
∴AG=12．（9分）
∴BD=

AB2+AD2

=

2AG2

=12

2

．
在（2）中，MN²=MB²+ND²
設(shè)MN=a，則a2=(3

2

)2+(12

2

-3

2

-a)2．
∴a=5

2

．即MN=5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用和一元二次方程的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不�。�