Question

【題目】已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=﹣2的距離小1． （Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）斜率不為0且過點(diǎn)P（2，2）的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè) =λ ，當(dāng)△AOB的面積為4 時（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=﹣2的距離小于1， ∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l′：y=﹣1的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線C的方程為x2=4y．
（Ⅱ）當(dāng)直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點(diǎn)，不合題意，
設(shè)直線m的方程為y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），
代入x2=4y，得x2﹣4kx+8（k﹣1）=0，（*）
△=16（k2﹣2k+2）＞0對k∈R恒成立，
所以，直線m與曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則x1+x2=4k，x1x2=8（k﹣1），
∴|AB|= ，
又O到直線AB的距離d= ，
∴S△AOB= |AB|d=4|k﹣1| =4 =4 ，
∴（k﹣1）2（k2﹣2k+2）=（k﹣1）4+（k﹣1）2=2，解得（k﹣1）2=1，∴k=0（舍）或k=2．
把k=2代入方程（*），得x2﹣8x+8=0，解得x=4±2 ，
∵ =λ ，∴λ= =3﹣2 或λ= =3+2
【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知：點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．（Ⅱ）設(shè)直線m的方程為y=kx+（2﹣2k），代入拋物線方程，由韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式得出三角形的面積，求出k，得出A，B的橫坐標(biāo)，根據(jù)相似比得出λ的值．