Question

13．已知CD是經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上的兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠a
（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題．
①如圖1若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE=CF，EF=|BE-AF|（填“＞”、“＜”、“=”）；
②如圖2，若∠α+∠BCA=180°，則①BE與CF的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠a=∠BCA，請(qǐng)寫(xiě)出EF、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系（不要求說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析 （1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

解答 解：（1）①如圖1中，

E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=∠AFC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
故答案為=，=．

②∠α+∠ACB=180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；
證明：如圖2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=∠AFC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．
理由是：如圖3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FCA}\\{∠BEC=∠CFA}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，注意這類題目圖形發(fā)生變化，結(jié)論基本不變，證明方法完全類似，屬于中考常考題型．