Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列五個(gè)結(jié)論：
①AD上任意一點(diǎn)到AB、AC兩邊的距離相等；
②AD上任意一點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；
③AD⊥BC，且BD=CD；
④∠BDE=∠CDF；
⑤AE=AF．
其中，正確的有

①②③④⑤

填序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等判斷出①②③正確，然后利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BDE=∠CDF，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=CF，然后求出AE=AF，從而最后得解．

解答：解：∵AD平分∠BAC，
∴AD上任意一點(diǎn)到AB、AC兩邊的距離相等（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），故①正確；
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=CD，故③正確，
∴AD上任意一點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），故②正確；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BDE=∠CDF，故④正確；
BE=CF，
∴AB-BE=AC-CF，
即AE=AF，故⑤正確，
綜上所述，正確的有①②③④⑤．
故答案為：①②③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．