Question

已知△中，（如圖），點到兩邊的距離相等，且．

（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△的形狀，并說明理由；

（2）設，，試用、的代數(shù)式表示的周長和面積；

（3）設與交于點，試探索當邊、的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）依題意，點既在的平分線上，又在線段的垂直平分線上．

    如圖1，作的平分線，作線段的垂直平分線，與的   

交點即為所求的點。

                        

        是等腰直角三角形．                   

理由如下：過點分別作．，垂足為、（如圖2）．

        ∵平分，．，垂足為、，

∴．

又∵ ，

∴ ≌．

∴ ．                                                     

∵，，，

∴， 從而．                                        

又 

∴ 是等腰直角三角形．

（2）如圖2，在中，，，，

∴．                                                          

由≌，≌，可得，．

∴．                        

在中，，，，

        ∴．   

∴．                         

所以的周長為：．                      

因為的面積=的面積的面積的面積

        ==

        =（）．                          

【或 ．】

（2）【法1】過點分別作．，垂足為．（圖3）．

        

              易得 ．                          

               由∥得   ①；

由∥得    ②                  

①+②，得 ，即 ．             

∴ ， 即 ．                        

【法2】（前面同法1）又  ，．

              ∴

              ∴．                               

∴ ，即 ．                          

 

【法3】過點作，垂足為（圖4）．

         

            在中，，                  

由∥得  ①；    ②                    

①+②，得 ，即 ．                 

∴，即 ．                             

【法4】過點作∥，交射線于點（如圖5）

      

易得 ，．             

∵∥，

∴．

∴，．                            

即 ．                                                 

【法5】過點作的平行線，交射線于點 (見圖6),

      

得，，                     

又 ， 即 ，                                

所以 ，                                      

【法6】分別過點、分別作的平行線，交射線于點，交射線于點(見圖7)．

得，                                          

又 ，     

∴ ，                                                       

即，．                                      

【解析】（1）利用點既在的平分線上，又在線段的垂直平分線上作圖；

（2）先求出AB的長，再求出AC+BC的長，這樣三角形ABC的周長就求出來，再利用的面積=的面積的面積的面積求出的面積；

（3）利用等邊代換求出結果。