Question

4．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²-3ax+2交x軸的負半軸于點A，交x軸的正半軸于點B，交y軸的正半軸于點C，且BO=4AO．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點D在第一象限內(nèi)的拋物線上，將直線BD繞點D順時針旋轉90°，點B的對應點E恰好落在直線y=x上，求直線BD的解析式；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點P（m，n）在第一象限的拋物線上，過點O作OH∥BD，過點F（m，n+$\frac{1}{2}$）作FH∥DE，交OH于點H，交y軸于點G，若FG=2GH，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）先確定出拋物線對稱軸，再用BO=4AO，求出點A的坐標，代入拋物線解析式求出a，
（2）先判斷出△EKD≌△DLB，再設出點D坐標，表示出點E坐標，用點E恰好落在直線y=x上，建立方程求出t，即可；
（3）先判斷出HF⊥OH，用三角函數(shù)判斷出OH=2HG，從而得到△OHQ≌△GFN，用m表示出點F坐標，利用點F在拋物線上建立方程求出m即可．

解答 （1）拋物線的解析式為y=ax²-3ax+2
∴拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$
如圖1，

作拋物線的對稱軸交x軸于點M，則M（$\frac{3}{2}$，0）
∵OB=4OA，
∴AB=5OA，
∴AM=$\frac{5}{2}$OA，
∴OM=$\frac{3}{2}$OA=$\frac{3}{2}$
∴OA=1，
∴A（-1，0）
∴a+3a+2=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
（2）拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
如圖2，

過D作DL⊥x軸于點L，過E作SK⊥DL于點K，交y軸于點S
∵∠EDK+∠LDB=90°，∠LDB+∠DBL=90°，
∴∠EDK=∠DBL
∵∠EKD=∠DLB=90°，BD=DE，
∴△EKD≌△DLB
∴EK=DL，DK=BL
設D（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
由（1）可知B（4，0）
∴DK=BL=4-t，DL=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2
∴OS=KL=DL-DK=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-（4-t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2
SE=SK-EK=t-（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2
∴E（$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2）
∵E在y=x上，
∴$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，
解得t=0（舍）或t=3
∴D（3，2）
（3）如圖3，

過F作FN⊥y軸于點N，過H作HQ⊥y軸于點Q
∵B（4，0），D（3，2），
∴直線BD的解析式為y=-2x+8
∵HF∥DE，OH∥BD，
∴OH的解析式為y=-2x
∵∠BDE=90°，
∴HF⊥OH
∵FG=2GH，
∴FN=2HQ，
∵P（m，n），
∴H（-$\frac{m}{2}$，m）
∴HQ=$\frac{m}{2}$，OQ=m，
∴tan∠HOG=$\frac{1}{2}$，
∴OH=2HG
∴FG=OH，
∴△OHQ≌△GFN
∴GN=HQ=$\frac{m}{2}$，
∴GQ=$\frac{m}{4}$，
∴ON=$\frac{7m}{4}$
∴F（m，$\frac{7m}{4}$）
∵P在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2上，
∴n=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2
∴F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$），
∴-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=$\frac{7m}{4}$
解得m=-$\frac{5}{2}$（舍）或m=2，
∴P（2，3）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線對稱軸的確定，待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，解本題的關鍵是判定△EKD≌△DLB，用方程的思想是解此類題的關鍵．