Question

7．如圖1，在矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，PM⊥AC于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N．設(shè)PM=x，PN=y，且y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖2所示，其中a=6，以下判斷中，不正確的是（　�。�

• A． Rt△ABD中斜邊BD上的高為6
• B． 無論點(diǎn)P在AD上何處，PM與PN的和始終保持不變
• C． 當(dāng)x=3時(shí)，OP垂直平分AD
• D． 若AD=10，則矩形ABCD的面積為60

Answer 1

分析 （A）根據(jù)圖②中的信息求得y的最大值，即可得出Rt△ABD中斜邊BD上的高；
（B）根據(jù)圖②中的信息可得，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，x與y的和為定值；
（C）先判斷P為AD的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰三角形AOD三線合一即可得出結(jié)論；
（D）先根據(jù)勾股定理求得DE，再利用射影定理求得BE，最后根據(jù)矩形的面積等于△ABD面積的2倍進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（A）由圖②可得，x+y=6，所以當(dāng)x=0時(shí)，y=6，即PN的最大值為6，所以Rt△ABD中斜邊BD上的高AE為6，故（A）正確；
（B）由圖②可得，x+y=6，所以無論點(diǎn)P在AD上何處，PM與PN的和始終為6，故（B）正確；
（C）當(dāng)x=3時(shí)，y=3，此時(shí)PN=PM，易得△APM≌△DPN，所以點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，所以等腰三角形AOD中，OP垂直平分AD，故（C）正確；
（D）若AD=10，則直角三角形ADE中，DE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，由射影定理可得BE=$\frac{A{E}^{2}}{DE}$=$\frac{9}{2}$，所以矩形ABCD的面積=2×$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{2}$+8）×6=75，故（D）錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 本題以動(dòng)點(diǎn)問題為背景考查了矩形的性質(zhì)與一次函數(shù)的圖象，判斷PM+PN的值是定值是解決問題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意：圖①中，根據(jù)面積法可得PM+PN=AE．