Question

【題目】（感知）如圖①，AC是菱形ABCD的對角線，∠B=60°，E、F分別是邊BC、CD上的中點，連結AE、EF、AF．若AC=2，則CE+CF的長為_____．

（探究）如圖②，在菱形ABCD中，∠B=60°．E是邊BC上的點，連結AE，作∠EAF=60°，邊AF交邊CD于點F，連結EF．若BC=2，求CE+CF的長．

（應用）在菱形ABCD中，∠B=60°．E是邊BC延長線上的點，連結AE，作∠EAF=60°，邊AF交邊CD延長線于點F，連結EF．若BC=2，EF⊥BC時，借助圖③直接寫出△AEF的周長．

Answer 1

【答案】【感知】2；【探究】2；【應用】

【解析】

感知：根據菱形的性質即可得解；

探究：首先根據菱形的性質，進行等量轉換，然后判定△ABC是等邊三角形，再進行等量轉換，判定△ABE≌△ACF，得出BE=CF，即可得解；

應用：首先根據菱形的性質，進行等量轉換，然后判定△ABC是等邊三角形，再進行等量轉換，判定△ACE≌△ADF，然后判定△AEF為等邊三角形，再利用勾股定理即可得出EF，進而得出△AEF的周長.

感知：∵AC是菱形ABCD的對角線，∠B=60°，

∴AB=BC=AC=CD=AD，

∵E、F分別是邊BC、CD上的中點，BC=2，

∴CE+CF=BC=2；

探究：如圖，連結AC．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AB∥CD．

∴∠B+∠BCD=180°．

∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，∠BCD=120°．

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC．

∴∠ACF=∠B=60°．

∵∠EAF=60°，

∴∠BAC﹣∠CAE=∠EAF﹣∠CAE．

∴∠BAE=∠CAF．

∴△ABE≌△ACF．

∴BE=CF．

∴CE+CF=BC=2．

應用：連接AC，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AB∥CD．

∴∠B+∠BCD=180°．

∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，∠BCD=120°．

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC．

∴∠CAD=∠B=60°．

∵∠EAF=60°，

∴∠CAD﹣∠DAE=∠EAF﹣∠DAE．

∴∠CAE=∠DAF．

∵∠ACE=∠ADF，AC=AD

∴△ACE≌△ADF．

∴CE=DF，AE=AF

∵∠EAF=60°，

∴△AEF為等邊三角形

∵EF⊥BC，∠ECF=60°

∴CF=2CE

∵CD=BC=2

∴CE=2

∴

∴△AEF的周長為．