Question

如圖所示，拋物線y=-(x-

3

m)2（m＞0）的頂點(diǎn)為A，直線l：y=

3

3

x-m與y軸交點(diǎn)為B．
（1）寫出拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）證明點(diǎn)A在直線l上，并求∠OAB的度數(shù)；
（3）動點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，問拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸和A點(diǎn)坐標(biāo)，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可得出A點(diǎn)是否在直線y=

3

3

x-m上的．
求∠OAB的度數(shù)，可通過求∠OAB的正切值來得出，根據(jù)直線AB的解析式可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出OB的長，OA的長已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度數(shù)．
（3）本題可分成四種情況：
一：∠AQP=∠AOB=90°：
①AO=PQ，OB=AQ，此時P、B重合，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)（根據(jù)拋物線的對稱性可知：P點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)也符合要求）．
②AO=AQ，PQ=OB，此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，可將其代入拋物線的解析式中，可得出兩個符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
二：∠APQ=∠AOB=90°：
①AO=PA，OB=PQ，可過P作拋物線對稱軸的垂線，通過∠PAQ的度數(shù)和AP即OA的長求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可得出兩個符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
②AO=PQ，PA=OB，同①
因此本題共有8個符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）對稱軸：x=

3

m；
頂點(diǎn)：A（

3

m，0）．

（2）將x=

3

m代入函數(shù)y=

3

3

x-m，
得y=

3

3

×

3

m-m=0
∴點(diǎn)A（

3

m，0）在直線l上．
當(dāng)x=0時，y=-m，
∴B（0，-m）
tan∠OAB=

m

3 m

=

3

3

，
∴∠OAB=30度．

（3）以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等共有以下四種情況：
①當(dāng)∠AQP=90°，PQ=

3

m，AQ=m時，
如圖1，此時點(diǎn)P在y軸上，與點(diǎn)B重合，其坐標(biāo)為（0，-m），
代入拋物線y=-（x-

3

m）²
得-m=-3m²，
∵m＞0，
∴m=

1

3

這時有P₁（0，-

1

3

）
其關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)P₂（

2 3

3

，-

1

3

）也滿足條件．

②當(dāng)∠AQP=90°，PQ=m，AQ=

3

m時
點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3

m-m，-

3

m），
代入拋物線y=-（x-

3

m）²
得

3

m=m²，
∵m＞0，
∴m=

3

這時有P₃（3-

3

，-3）
還有關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)P₄（3+

3

，-3）．

③當(dāng)∠APQ=90°，AP=

3

m，PQ=m時
點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3

2

m，-

3

2

m），代入拋物線y=-（x-

3

m）²
得

3

2

m=

3

4

m²，
∵m＞0，
∴m=2
這時有P₅（

3

，-3）
還有關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)P₆（3

3

，-3）．

④當(dāng)∠APQ=90°，AP=m，PQ=

3

m時
點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3

2

m，-

1

2

m），
代入拋物線y=-（x-

3

m）²
得

1

2

m=

3

4

m²，
∵m＞0，
∴m=

2

3

這時有P₇（

3

3

，-

1

3

）
還有關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)P₈（

3

，-

1

3

）．
所以當(dāng)m=

1

3

時，有點(diǎn)P₁（0，-

1

3

），P₂（

2 3

3

，-

1

3

）；
當(dāng)m=

3

時，有點(diǎn)P₃（3-

3

，-3），P₄（3+

3

，-3）；
當(dāng)m=2時，有點(diǎn)P₅（

3

，-3），P₆（3

3

，-3）；
當(dāng)m=

2

3

時，有點(diǎn)P₇（

3

3

，-

1

3

），P₈（

3

，-

1

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識以及全等三角形的判定，要注意（3）小題中，要分類討論，將所有的情況都考慮到，以免漏解．