Question

如圖，已知P（0，1），⊙P與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AC是⊙P的直徑，OA、OD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-3kx+2k²=0的兩根，且OA²+OD²=20．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求證：AD是⊙P的切線；
（3）連結(jié)CD交⊙P于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)F，求直線EF的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理，由OP⊥AB得到OA=OB，于是可判斷OP為△ABC的中位線，則BC=2OP=2；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到OA+OD=3k，OA•OD=2k²，再利用完全平方公式變形得OA²+OD²=（OA+OD）²-2OA•OD=20，則9k²-4k²=20，解得k=±2，利用OA+OD=3k＞0得到k=2，然后解出方程的兩根得x₁=2，x₂=4，則A（-2，0），D（0，-4），再利用勾股定理分別計(jì)算出AD=2

5

，AP=

5

，則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△PAD為直角三角形，∠PAD=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AD是⊙P的切線；
（3）連結(jié)AE、PE，如圖，先計(jì)算出AC=2

5

，則AC=AD，得到△ACD為等腰直角三角形，∠ACD=45°，再由AC是⊙P的直徑得到∠AEC=90°，則有CE=DE，于是利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-1）；接著根據(jù)切線的性質(zhì)得PE⊥EF，根據(jù)圓周角定理得∠APE=2∠ACD=90°，則可判斷AC∥EF，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=

1

2

x+1，設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n，則利用兩直線平行的問題得到m=

1

2

，然后把E（1，-1）代入y=

1

2

x+n求出n的值即可得到直線EF的解析式．

解答：（1）解：∵OP⊥AB，
∴OA=OB，
又∵AP=PC，
∴OP為△ABC的中位線，
∴BC=2OP=2；
（2）證明：∵OA、OD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-3kx+2k²=0的兩根，
∴OA+OD=3k，OA•OD=2k²，
∵OA²+OD²=（OA+OD）²-2OA•OD=20，
∴9k²-4k²=20，解得k=±2，
而OA+OD=3k＞0，
∴k=2，
方程變形為x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，
∴A（-2，0），D（0，-4）
∴PD=1-（-4）=5，AD=

22+42

=2

5

，AP=

12+22

=

5

，
∴AP²+AD²=PD²，
∴△PAD為直角三角形，∠PAD=90°，
∴AP⊥AD，
∴AD是⊙P的切線；
（3）證明：連結(jié)AE、PE，如圖，
在Rt△ABC中，∵AB=2+2=4，BC=2，
∴AC=

22+42

=2

5

∴AC=AD，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∵AC是⊙P的直徑，
∴∠AEC=90°．
∴AE⊥CD，
∴CE=DE，即點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，
而C（2，2），D（0，-4），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-1），
∵EF為是⊙P的切線，
∴PE⊥EF，
∵∠APE=2∠ACD=90°，
∴PE⊥AC，
∴AC∥EF，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），P（0，1）代入得

-2k+b=0 b=1

，解得

k= 1 2 b=1

，
∴直線AC的解析式為y=

1

2

x+1，
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n，
∵直線y=mx+n與直線y=

1

2

x+1平行，
∴m=

1

2

，
把E（1，-1）代入y=

1

2

x+n得

1

2

+n=-1，解得n=-

3

2

，
∴直線EF的解析式為y=

1

2

x-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形；記住根與系數(shù)的關(guān)系；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．