Question

13．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-2，0）、B（4，0）、C（O，3）三點(diǎn)，連接AC，該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ的周長最��？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）已知點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），將點(diǎn)C（0，3）代入可求得a=-$\frac{3}{8}$，將a的值代入可求得拋物線的解析式；
（2）連接BC交拋物線的對稱軸與點(diǎn)Q．由軸對稱圖形的性質(zhì)可知AQ=BQ，則CQ+AQ=CQ+BQ，當(dāng)點(diǎn)C、B、Q在一條直線上時QC+AQ有最小值，即△ACQ的周長有最小值，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入可求得直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，將x=1代入直線BC的解析式可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）本題分三種情況：①PC∥DB，那么C點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于x=1對稱，因此可直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；②PD∥BC，設(shè)DP的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)b的值，然后將一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；③PB∥DC，依據(jù)②中的方法可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），
將點(diǎn)C（0，3）代入得：-8a=3．
解得：a=-$\frac{3}{8}$，
∵a=-$\frac{3}{8}$，
∴拋物線的解析式為y=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3．
（2）存在．
如圖所示：連接CB，交拋物線的對稱軸與點(diǎn)Q，連接AQ．

∵x=-$\frac{2a}$，
∴x=1．
∵AC的長度為固定值，
∴當(dāng)AQ+CQ有最小值時，△ACQ的周長最�。�
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=1對稱，
∴AQ=QB．
∴AC+CQ=CQ+BQ．
∴當(dāng)點(diǎn)C、Q、B在一條直線上時，AC+CQ有最小值．
設(shè)BC的解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=3．
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}x+3$．
將x=1代入得：y=-$\frac{3}{4}$+3=$\frac{9}{4}$．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{4}$）．
（3）①當(dāng)PC∥DB時，
∵PC∥DB，
∴C點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于x=1對稱．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．
②當(dāng)PD∥BC時，設(shè)DP的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b．
將D（1，0）代入得：$-\frac{3}{4}$+b=0．
解得：b=$\frac{3}{4}$．
∴直線DP的解析式為y=$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$．
將y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$與y=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3聯(lián)立得$-\frac{3}{4}x$+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{8}{x}^{2}$+$\frac{3}{4}$x+3．
解得：x₁=-$\sqrt{10}$+2，x₂=$\sqrt{10}$+2．
將x=-$\sqrt{10}+2$代入直線DP的解析式得y=$\frac{3\sqrt{10}-3}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\sqrt{10}+2$，$\frac{3\sqrt{10}-3}{4}$）．
將x=$\sqrt{10}+2$代入直線DP的解析式得：y=-$\frac{3\sqrt{10}+3}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{10}+2$，-$\frac{3\sqrt{10}+3}{4}$）．
③當(dāng)PB∥DC時．設(shè)直線DC的解析式為y=k₁x+b₁．
將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+_{1}=0}\\{_{1}=3}\end{array}\right.$．
解得：k₁=-3，b₁=3．
直線DC的解析式為y=3x+3．
設(shè)DP的解析式為y=-3x+b₂．將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：b₂=12．
則DP的解析式為y=-3x+12．
將y=-3x+12與y=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3聯(lián)立得：-3x+12=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3．
解得：x₁=4，x₂=6．
將x=6代入y=-3x+12得：y=-6．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-6）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（6，-6）或（-$\sqrt{10}+2$，$\frac{3\sqrt{10}-3}{4}$）或（$\sqrt{10}+2$，-$\frac{3\sqrt{10}+3}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、利用方程思想求函數(shù)的交點(diǎn)、軸對稱圖形的性質(zhì)、線段的性質(zhì)、梯形的定義，利用梯形的定義進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．