Question

8．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D為AB的中點，∠EDF=90°，DE交AC于點G，DF經(jīng)過點C．
（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）如圖2，將圖1中的∠EDF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），旋轉(zhuǎn)過程中的任意兩個位置分別記為∠E₁DF₁，∠E₂DF₂，DE₁交直線AC于點P，DF₁交直線BC于點Q，DE₂交直線AC于點M，DF₂交直線BC于點N，求$\frac{PM}{QN}$的值；
（3）若圖1中∠B=β（60°＜β＜90°），（2）中的其余條件不變，判斷$\frac{PM}{QN}$的值是否為定值？如果是，請直接寫出這個值（用含β的式子表示）；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形中的三角函數(shù)解答即可；
（3）由（2）的推理得出$\frac{PM}{QN}$，再利用直角三角形的三角函數(shù)解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDC=90°，
∴∠ADE=30°；
（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，
∴∠DMC+∠CND=180°，
∵∠DMC+∠PMD=180°，
∴∠CND=∠PMD，
同理∠CPD=∠DQN，
∴△PMD∽△QND，
過點D分別做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

可知DG，DH分別為△PMD和△QND的高
∴$\frac{PM}{QN}$=$\frac{DG}{DH}$，
∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，
∴DG∥BC，
又∵D為AC中點，
∴G為AC中點，
∵∠C=90°，
∴四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，
Rt△AGD中，$\frac{DG}{AG}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即$\frac{PM}{QN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
（3）是定值，定值為tan（90°-β），
∵$\frac{PM}{QN}=\frac{DG}{DH}$，四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，
∴Rt△AGD中，$\frac{DG}{AG}$=tan∠A=tan（90°-∠B）=tan（90°-β），
∴$\frac{PM}{QN}$=tan（90°-β）．

點評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定進行解答．