【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱

(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ;

(2)過點(diǎn)B的直線y=kx+b(其中k<0)與x軸相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線l平行于y軸,P是直線l上一點(diǎn),且PB=PC,求線段PB的長(用含k的式子表示),并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上,說明理由;

(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對稱軸上,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)(0,);(2)點(diǎn)P在拋物線上,理由詳見解析;(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1).

【解析】

試題分析:(1)由拋物線解析式可求得點(diǎn)A坐標(biāo),再利用對稱可求得B點(diǎn)坐標(biāo);(2)可先用k表示出C點(diǎn)坐標(biāo),過B作BD⊥l于點(diǎn)D,條件可知P點(diǎn)在x軸上方,設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y,可表示出PD、PB的長,在Rt△PBD中,利用勾股定理可求得y,則可求出PB的長,此時(shí)可得出P點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式可判斷P點(diǎn)在拋物線上;(3)利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,則可求得OC的長,代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1)∵拋物線y=x2+與y軸相交于點(diǎn)A,

∴A(0,),

∵點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱,

∴BA=OA=,

∴OB=,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),

故答案為:(0,);

(2)∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),

∴直線解析式為y=kx+,令y=0可得kx+=0,解得x=﹣,

∴OC=﹣

∵PB=PC,

∴點(diǎn)P只能在x軸上方,

如圖1,過B作BD⊥l于點(diǎn)D,設(shè)PB=PC=m,

則BD=OC=﹣,CD=OB=

∴PD=PC﹣CD=m﹣,

在Rt△PBD中,由勾股定理可得PB2=PD2+BD2,

即m2=(m﹣2+(﹣2,解得m=+

∴PB=+

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣, +),

當(dāng)x=﹣時(shí),代入拋物線解析式可得y=+,

∴點(diǎn)P在拋物線上;

(3)如圖2,連接CC′,

∵l∥y軸,

∴∠OBC=∠PCB,

又PB=PC,

∴∠PCB=∠PBC,

∴∠PBC=∠OBC,

又C、C′關(guān)于BP對稱,且C′在拋物線的對稱軸上,即在y軸上,

∴∠PBC=∠PBC′,

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,

在Rt△OBC中,OB=,則BC=1

∴OC=,即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入拋物線解析式可得y=(2+=1,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1).

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參賽者編號

1

2

3

4

5

6

成績/分

95

88

90

93

88

92

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