Question

【題目】已知：有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|c|>|a|．

（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反數(shù)是30，求a、b、c的值；

（2）在（1）的條件下，a、b、c分別是A、B、C點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)，

①線段AC的長是________，將數(shù)軸折疊使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，則折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是__________

②數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離加上P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離減去P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為50，即PC+PAPB=50?若存在，求出P點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由；

③點(diǎn)C，B分別以4個單位/秒和3個單位/秒的速度同時向右運(yùn)動，點(diǎn)A以7個單位/秒的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)m，使得3CA+2mOB-mOA為定值，若存在，請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2) ①40，-10；②存在；-90或；（2）存在m=9，定值是390.

【解析】

（1）利用絕對值的性質(zhì)和數(shù)軸即可求出a，利用b2=400和數(shù)軸即可求出b，利用c的相反數(shù)即可求出c；

（2）①利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出AC，再利用中點(diǎn)公式即可求出折痕所表示的數(shù)；

②設(shè)P表示的數(shù)為，根據(jù)P點(diǎn)不同的位置及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式分類討論即可；

③設(shè)運(yùn)動時間為t，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，表示出CA、OB、OA，將它們代入3CA+2mOB-mOA并化簡，再根據(jù)其為定值，即與t值無關(guān)，令t的系數(shù)為0即可.

解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反數(shù)是30

解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30

由數(shù)軸可知：a＞0，b＞0

∴a＝10，b＝20，c＝﹣30

（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式：AC=| a－c|=40；

若A、C兩點(diǎn)重合，則折痕在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)即為AC的中點(diǎn)，故折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是；

②存在，求法如下

假設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為，

當(dāng)P在C左側(cè)時，即，如下圖所示：

∴PC=﹣30－，PA=10－，PB=20－

根據(jù)PC+PAPB=50，

∴（﹣30－）＋（10－）－（20－）=50

解得：.

若P在C、A之間時，即，如下圖所示：

∴PC=，PA=10－，PB=20－

根據(jù)PC+PAPB=50

（）＋（10－）－（20－）=50

解得：，不符合前提，故舍去；

若P在A、B之間時，即，如下圖所示：

∴PC=，PA=，PB=20－

根據(jù)PC+PAPB=50

（）＋（）－（20－）=50

解得：；

若P在B右側(cè)時，即，如下圖所示：

∴PC=，PA=，PB=

根據(jù)PC+PAPB=50

（）＋（）－（）=50

解得：，不符合前提，故舍去；

綜上所述：P點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)是：-90或.

③存在，理由如下：

設(shè)運(yùn)動時間為t，此時C表示的數(shù)為：﹣30＋4t，A表示的數(shù)為：10＋7t，B表示的數(shù)為20＋3t.

∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得：

原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t）

=（9－m）t＋120＋30m

∵3CA+2mOB-mOA為定值，即與t值無關(guān)，令t 的系數(shù)為0即可，

∴9－m=0，解得：

m=9，代入得：

定值=120＋30×9=390.