【題目】矩形ABCD中,AB=3,BC=4.點P在線段AB或線段AD上,點Q中線段BC上,沿直線PQ將矩形折疊,點B的對應點是點E.
(1)如圖1,點P、點E在線段AD上,點Q在線段BC上,連接BP、EQ.
①求證:四邊形PBQE是菱形.
②四邊形PBQE是菱形時,AP的取值范圍是 .
(2)如圖2,點P在線段AB上,點Q在線段AD上,點E在線段AD上,若AE=,求折痕PQ的長.
(3)點P在線段AB,AP=2,點Q在線段BC上,連AE、CE.請直接寫出四邊形AECD的面積的最小值是 .
【答案】(1)①見解析;②0≤AP≤ ;( 2);(3)7.5.
【解析】
(1)①先根據所給條件證明△POE≌△QOB,進而證明四邊形PEBQ是平行四邊形,再根據鄰邊相等的平行四邊形四邊形是菱形來證明四邊形PEBQ是菱形;②考慮AP最小值和最大值時P點的位置,當點P與點A重合時,AP最小,當點E和點D重合時,AP最大,由勾股定理求出最大值;(2)連接PE,EQ,過點Q作QF⊥AD于F,由折疊知,PB=PE,∠PEQ=∠B=90°,再設AP的長為x,根據勾股定理列方程求解,得到AP和PE的長,然后根據兩個角相等證明△APE∽△FEQ,進而求出EQ的值,再根據勾股定理求出PQ;(3)如圖3,連接AC,根據勾股定理求出AC的值,再連接PE,過點E作EG⊥AC于G,可得S四邊形AECD=S△ACD+S△ACE=6+EG,∴EG最小時,四邊形AECD的面積最小,確定EG最小時的情況,求出EG的最小值,即可得到四邊形AECD的最小值.
解(1)①由折疊知,PB=PE,PQ垂直平分BE,
∴OB=OE,
∵∠POE=∠BOQ,∠EPO=∠OQB,
∴△POE≌△QOB,
∴PE=BQ,
∵AD∥BC,
∴四邊形PBQE是平行四邊形,
∵PB=PE,
∴PBQE是菱形;
②當點P與點A重合時,AP=0,
當點E和點D重合時,DP=BP=4﹣AP,
在Rt△ABP中,BP2﹣AP2=AB2,
∴(4﹣AP)2﹣AP2=9,
∴AP=,
∴0≤AP≤,
故答案為:0≤AP≤;
(2)如圖2,連接PE,EQ,過點Q作QF⊥AD于F,
由折疊知,PB=PE,∠PEQ=∠B=90°,
設AP=x,
∴PB=PE=3﹣x,
根據勾股定理得,x2+5=(3﹣x)2,
∴x=,∴AP=,PE=,
∵∠AEP+∠PEQ=90°,∠AEP+∠APE=90°,
∴∠FEQ=∠APE,
∵∠EFQ=∠A=90°,
∴△APE∽△FEQ,
∴=,
∴=,
∴EQ=,
∴PQ==;
(3)如圖3,
連接AC,在Rt△ACD中,AD=4,CD=3,
∴AC=5,
連接PE,過點E作EG⊥AC于G,
∴S四邊形AECD=S△ACD+S△ACE
=ADCD+ACEG
=×4×3+×5EG
=6+EG,
∴EG最小時,四邊形AECD的面積最小,
由折疊知,PB=PE,
∴點E是以點P為圓心,PB=1為半徑的一段弧上,
∴點P,E,G在同一條線上時,EG最小,
∵∠AGP=∠ABC=90°,∠PAG=∠CAB,
∴△PAG∽△CAB,
∴=,
∴PG= ==,
∴EG最小=PG﹣PE=﹣1=,
∴S四邊形AECD最小=6+EG最小=6+×=7.5,
故答案為:7.5.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】2019年3月12日是第41個植樹節(jié),某單位積極開展植樹活動,決定購買甲、乙兩種樹苗,用800元購買甲種樹苗的棵數與用680元購買乙種樹苗的棵數相同,乙種樹苗每棵比甲種樹苗每棵少6元.
(1)求甲種樹苗每棵多少元?
(2)若準備用3800元購買甲、乙兩種樹苗共100棵,則至少要購買乙種樹苗多少棵?
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某班級45名同學自發(fā)籌集到1700元資金,用于初中畢業(yè)時各項活動的經費,計劃將資金用于給每名同學購買一件文化衫或一本制作精美的相冊作為紀念品,已知每件文化衫28元,每本相冊20元.
設購買的文化衫件數為x(x為非負整數).
(Ⅰ)根據題意,填寫下表:
購買的文化衫件數(件) | 5 | 10 | 20 | 30 | … |
買文化衫所學費用(元) | 140 |
| 560 |
| … |
買相冊所需費用(元) | 800 |
| 500 |
| … |
(Ⅱ)設購買文化衫和相冊所需費用共W元,求W與購買的文化衫件數x的函數關系式;
(Ⅲ)通過商議,決定拿出不少于540元旦不超過570元的資金用于請專業(yè)人士牌照,其余則用于購買文化衫和相冊,購買文化衫和相冊有哪幾種方案?為使拍照的資金更充足,應選擇哪種方案,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,將一個等腰直角三角形按圖中方式依次翻折,若DE=a,DC=b,則下列說法:①DC′平分∠BDE;②BC的長為2a+b;③△BC′D是等腰三角形;④△CED的周長等于BC的長.其中正確的是()
A.①②③B.②④C.②③④D.③④
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某校九(1)、九(2)兩班的班長交流了為四川安雅地震災區(qū)捐款的情況:
(Ⅰ)九(1)班班長說:“我們班捐款總數為1200元,我們班人數比你們班多8人.”
(Ⅱ)九(2)班班長說:“我們班捐款總數也為1200元,我們班人均捐款比你們班人均捐款多20%.”
請根據兩個班長的對話,求這兩個班級每班的人均捐款數.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1:y1=2x+1與坐標軸交于A,C兩點,直線l2: y2=-x-2與坐標軸交于B,D兩點,兩直線交于P點.
(1)求P點的坐標;
(2)求△APB的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,點D是⊙O上一點,直線AE經過點D,直線AB經過圓心O,交⊙O于B,C兩點,CE⊥AE,垂足為點E,交⊙O于點F,∠BCD=∠DCF
(1)求∠A+∠BOD的度數;
(2)若sin∠DCE=,⊙O的半徑為5,求線段AB的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥AB,AD=2,AB+CD=4,點E為BC的中點.
(1)求四邊形ABCD的面積;
(2)若AE⊥BC,求CD的長.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com