Question

3．如圖1、2，A、B是y軸上的兩點（點A在點B的上邊），C、D是x軸上的兩點（點C在點D的左邊），E、F分別是BC、AD的中點．
（1）如圖1，過點C作x軸的垂線交AE的延長線于點P，求證：AB=PC；
（2）如圖1，連接EF，若AB=4，CD=2，求EF的長；
（3）如圖2，若AB=CD，當(dāng)線段AB、CD分別在y軸、x軸上滑動時，直線EF與x軸正方向的夾角∠α的大小是否會發(fā)生變化？若變化，請你說明理由；若不變，請你求出∠α的大�。�

Answer 1

分析 （1）欲證明AB=PC，只要證明△ABE≌△PCE即可．
（2）如圖1中，連接DP，先求出DP，再利用三角形中位線定理即可解決．
（3）結(jié)論：∠α的大小不變，∠α=45°．如圖2中，過點C作x軸的垂線交AE的延長線于點P，由（1）可知CP=AB=CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解決問題．

解答 （1）證明：∵OA⊥OD，PC⊥OD，
∴AB∥PC，
∴∠EAB=∠EPC，
在△ABE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EPC}\\{∠AEB=∠PEC}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△PCE，
∴AE=EP．
（2）如圖1中，連接DP，

∵△AEB≌△PEC，
∴AE=EP，
∵CP=AB=4，CD=2，
∴DP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵E、F分別是AP、AD中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$DP=$\sqrt{5}$．
（3）結(jié)論：∠α的大小不變，∠α=45°

理由：如圖2中，過點C作x軸的垂線交AE的延長線于點P，
由（1）可知，CP=AB=CD，
∴∠CDP=45°，
∵EF∥DP，
∴∠α=∠CDP=45°．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用（1）的證明方法，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．