Question

20．如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．
（1）求證：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數量關系？并對你的猜想加以證明．

Answer 1

分析 （1）①根據平行線的性質得到∠ADB=∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC，等量代換得到∠ABD=∠ADB，根據等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根據平行線的性質得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代換得到AC=AD，根據等腰三角形的性質得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到結論；
（2）根據角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠DC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC，即可得到結論．

解答 解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；

（2）∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵BD、CD分別平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質，角平分線的定義，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．