Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上．

（1）已知a=1，點B的縱坐標為2．
①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長．
②如圖2，若BD= AB，過點B，D的拋物線L2 ， 其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達式．
（2）如圖3，若BD=AB，過O，B，D三點的拋物線L3 ， 頂點為P，對應函數(shù)的二次項系數(shù)為a3 ， 過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點，求 的值，并直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①二次函數(shù)y=x2，當y=2時，2=x2，

解得x1= ，x2=﹣ ，

∴AB=2 ．

∵平移得到的拋物線L1經過點B，

∴BC=AB=2 ，

∴AC=4 ．

②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，如圖2，

根據(jù)拋物線的軸對稱性，得BN= DB= ，

∴OM= ．

設拋物線L2的函數(shù)表達式為y=a（x﹣ ）2，

由①得，B點的坐標為（ ，2），

∴2=a（ ﹣ ）2，

解得a=4．

拋物線L2的函數(shù)表達式為y=4（x﹣ ）2

（2）

解：如圖3，拋物線L3與x軸交于點G，其對稱軸與x軸交于點Q，

過點B作BK⊥x軸于點K，

設OK=t，則AB=BD=2t，點B的坐標為（t，at2），

根據(jù)拋物線的軸對稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．

設拋物線L3的函數(shù)表達式為y=a3x（x﹣4t），

∵該拋物線過點B（t，at2），

∴at2=a3t（t﹣4t），

∵t≠0，

∴ =﹣ ，

由題意得，點P的坐標為（2t，﹣4a3t2），

則﹣4a3t2=ax2，

解得，x1=﹣ t，x2= t，

EF= t，

∴ = ．

【解析】（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點A、B的坐標，求出AC的長；②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，根據(jù)拋物線的軸對稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點B作BK⊥x軸于點K，設OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式，根據(jù)拋物線過點B（t，at2），求出 的值，根據(jù)拋物線上點的坐標特征求出 的值．