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【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+3a0)與x軸交于點A1,0)和點B-3,0),與y軸交于點C

1)求拋物線的解析式;
2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
3)如圖②,若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時E點的坐標.

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)存在,P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,);(3)當a=-時,S四邊形BOCE最大,且最大值為,此時,點E坐標為(-,).

【解析】

1)已知拋物線過A、B兩點,可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中,用待定系數法即可求出二次函數的解析式;

2)可根據(1)的函數解析式得出拋物線的對稱軸,也就得出了M點的坐標,由于C是拋物線與y軸的交點,因此C的坐標為(03),根據M、C的坐標可求出CM的距離.然后分三種情況進行討論:

①當CP=PM時,P位于CM的垂直平分線上.求P點坐標關鍵是求P的縱坐標,過PPQy軸于Q,如果設PM=CP=x,那么直角三角形CPQCP=x,OM的長,可根據M的坐標得出,CQ=3-x,因此可根據勾股定理求出x的值,P點的橫坐標與M的橫坐標相同,縱坐標為x,由此可得出P的坐標.

②當CM=MP時,根據CM的長即可求出P的縱坐標,也就得出了P的坐標(要注意分上下兩點).

③當CM=CP時,因為C的坐標為(03),那么直線y=3必垂直平分PM,因此P的縱坐標是6,由此可得出P的坐標;

3)由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形,因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算,過EEFx軸于F,S四邊形BOCE=SBFE+S梯形FOCE.直角梯形FOCE中,FOE的橫坐標的絕對值,EFE的縱坐標,已知C的縱坐標,就知道了OC的長.在△BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的橫坐標表示出BF的長.如果根據拋物線設出E的坐標,然后代入上面的線段中,即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式,根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值.即可求出此時E的坐標.

(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a0)x軸交于點A(1,0)和點B(3,0),

解得:.

∴所求拋物線解析式為:y=x22x+3;

(2)∵拋物線解析式為:y=x22x+3,

∴其對稱軸為,

∴設P點坐標為(1,a),當x=0時,y=3,

C(0,3),M(1,0)

∴當CP=PM,(1)2+(3a)2=a2,解得a=

∴P點坐標為:;

∴當CM=PM,(1)2+32=a2,解得,

P點坐標為:;

∴當CM=CP,由勾股定理得:(1)2+32=(1)2+(3a)2,解得a=6

P點坐標為:P4 (1,6).

綜上所述存在符合條件的點P,其坐標為 P(1,6);

(3)過點EEFx軸于點F,E(a,a22a+3)(3<a<0)

EF=a22a+3,BF=a+3,OF=a

∴當a=,S四邊形BOCE最大,且最大值為.

此時,E坐標為.

練習冊系列答案
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圖(1

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圖(2

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圖(3

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1)直接寫出點A,B,C的坐標及“蛋圓”弦CD的長;

A   ,B   ,C   CD   ;

2)如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點,那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

求經過點C的“蛋圓”切線的解析式;

求經過點D的“蛋圓”切線的解析式;

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