Question

平面直角坐標(biāo)系中A（1，4），B（4，1）．
（1）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，且P到A、B的距離之和最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在y軸，當(dāng)△ABQ周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）若x軸上有一點(diǎn)P，y軸上有一點(diǎn)Q，四邊形ABPQ的周長(zhǎng)是否存在最�。咳粲姓�(qǐng)求之，若無(wú)請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC交x軸于P，則此時(shí)AP+BP最小，求出C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
（2）首先作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D連接DB，DB與y軸交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，則此時(shí)△ABQ周長(zhǎng)最小，求出過(guò)D，B兩點(diǎn)的直線函數(shù)關(guān)系式，再求出直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）作A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，進(jìn)而連接A′B′，交y軸于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)四邊形ABPQ的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理即可得出答案．

解答：解：（1）如圖1，作A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC交x軸于P，則此時(shí)AP+BP最小，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1），
∴C（1，-4），
設(shè)直線BC的解析式是：y=kx+b，
把B、C的坐標(biāo)代入得：

4k+b=1 k+b=-4

，
解得

k= 5 3 b=- 17 3

．
即直線BC的解析式是y=

5

3

x-

17

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，

5

3

x-

17

3

=0，
解得：x=

17

5

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

17

5

，0）．

（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D（-1，4），連接DB，DB與y軸交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，則此時(shí)△ABQ周長(zhǎng)最��；
設(shè)過(guò)D，B兩點(diǎn)的直線函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，
∵D（-1，4）．B（4，1），
∴

-m+n=4 4m+n=1

，
解得：

m=- 3 5 n= 17 5

，
∴過(guò)D，B兩點(diǎn)的直線函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

5

x+

17

5

；
當(dāng)x=0時(shí)，y=

17

5

，
即：直線DB與y軸交于點(diǎn)（0，

17

5

），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

17

5

）．

（3）如圖3：作A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，進(jìn)而連接A′B′，交y軸于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)四邊形ABPQ的周長(zhǎng)最小，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，1），
∴AB=

(1-4)2+(4-1)2

=3

2

，A′（-1，4），B′（4，-1），
故A′B′=

(-1-4)2+(4+1)2

=5

2

，
則四邊形PABQ的周長(zhǎng)最短的值為：3

2

+5

2

=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能找出P、Q點(diǎn)，題目具有一定的代表性，難度適中．