Question

已知：如圖，直線MN交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AC是直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過D作DE⊥MN于E，DE是⊙O的切線．
（1）求證：AD平分∠CAM；
（2）若⊙O的半徑為7.5cm，AE=3cm，求tan∠CBD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由DE與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到∠ADE=∠ABD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ABD+∠BDE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，從而得出∠BDE=∠DAE，利用圓周角的性質(zhì)，得到BC⊥MN，進(jìn)而求得DE∥BC，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠DAE=∠DAC，即AD為∠CAE的平分線；
（2）連接OD，過O作OF⊥AB，顯然得到四邊形ODEF為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等得到OD=EF，OF=DE，設(shè)DE=x，由EF-AE=OD-EF表示出AF的長，在直角三角形AOF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到DE的長，然后通過解直角三角形即可求得tan∠CBD的值．

解答：（1）證明：∵DE切圓O于D，
∴∠ADE=∠ABD，
又∵DE⊥MN，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABD+∠BDE=90°，∠ADE+∠DAE=90°
∴∠BDE=∠DAE，
∵AC是直徑，
∴BC⊥MN，
∴DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC，
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DAC=∠DAE，
∴AD平分∠CAM；

（2）解：連接OD，過O作OF⊥AB，
∵DE是⊙O的切線．
∴OD⊥DE，
∴四邊形ODEF為矩形，
∴OF=DE，OD=EF，
設(shè)DE=xcm，AE=3cm，OD=EF=OA=7.5cm，
∴AF=EF-AE=（7.5-3）=4.5cm，
在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：OA²=AF²+OF²，即7.5²=4.5²+x²，
解得：x=6cm．
∴DE=6cm，
∴∠DAE=∠CBD，
∴tan∠CBD=tan∠DAE=

DE

AE

=

6

3

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．