Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線(xiàn)AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線(xiàn)BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= =5．

∵AD=5t，CE=3t， ∴當(dāng)AD=AB時(shí)，5t=5，即t=1；

∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1

（2）解：∵EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)，

∴GE=2．

當(dāng)AD＜AE（即t＜ ）時(shí)，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，

若△DEG與△ACB相似，則 或 ，

∴ 或 ，

∴t= 或t= ；

當(dāng)AD＞AE（即t＞ ）時(shí)，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，

若△DEG與△ACB相似，則 或 ， ∴ 或 ，

解得t= 或t= ；

綜上所述，當(dāng)t= 或 或 或 時(shí)，△DEG與△ACB相似

【解析】（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度及AD=AB，求出t的值，然后根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度求出AE的長(zhǎng)，從而可求出DE的長(zhǎng)。
（2）根據(jù)EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)，求出GE的長(zhǎng)，要證明△DEG與△ACB，分兩種情況：DE:EG=BC:AC或DE:EG=AC:BC，根據(jù)這些線(xiàn)段成比例，即可求出t的值（注意點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，要分兩種情況：AD＜AE和AD＞AE）。