Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點M，MN⊥AC于點N．

（1）求證：MN是⊙O的切線；

（2）若∠BAC=120°，AB=2，求圖中陰影部分的面積．

　

Answer 1

【考點】切線的判定；扇形面積的計算；解直角三角形．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）有切點，需連半徑，證明垂直，即可；

（2）求陰影部分的面積要把它轉(zhuǎn)化成S_梯形ANMO﹣S_扇形OAM，再分別求的這兩部分的面積求解．

【解答】（1）證明：連接OM．

∵OM=OB，

∴∠B=∠OMB．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴∠OMB=∠C．

∴OM∥AC．

∵MN⊥AC，

∴OM⊥MN．

∵點M在⊙O上，

∴MN是⊙O的切線．

（2）解：連接AM．

∵AB為直徑，點M在⊙O上，

∴∠AMB=90°．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°．

∴∠AOM=60°．

又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點N，

∴∠AMN=30°．

∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．

∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=． 

∴S_梯形ANMO=，

S_扇形OAM=，

∴S_陰影==﹣．   

【點評】本題考查的是切線的判定即利用圖形分割法求不規(guī)則圖形面積的思路．