Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時(shí)，求出∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時(shí)，求證：∠PFD－∠AEM＝90°；

(3)在(2)的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠PFD＋∠AEM＝90°；（2）見(jiàn)解析；（3）∠N＝45°.

【解析】

（1）如圖，由平行線的性質(zhì)得出∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)PN交AB于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)得出∠PFD＝∠PGB，再由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可得出結(jié)果；
（3）由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PFD＝90°＋∠PEB＝120°，再由平行線的性質(zhì)得出∠NFO＝120°，然后由三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB.

∵AB∥CD，

∴PH∥CD，

∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM.

∵∠MPN＝90°，

∴∠NPH＋∠HPM＝90°，

∴∠PFD＋∠AEM＝90°.

(2)證明：設(shè)PN交AB于點(diǎn)G.

∵AB∥CD，

∴∠PFD＝∠PGB.

∵∠PGB－∠PEB＝90°，∠PEB＝∠AEM，

∴∠PFD－∠AEM＝90°.

(3)由(2)得，∠PFD＝90°＋∠PEB＝120°，

∴∠NFO＝120°，

∴∠N＝180°－∠DON－∠NFO＝45°.