Question

11．已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），C（0，2）
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上的第一象限的點(diǎn)，求S_△ACE的最大值，并求S_△ACE取得最大值時(shí)x的值；
（3）如圖2，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）作ED⊥y軸，設(shè)點(diǎn)E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），表示出DE、DO、DC的長(zhǎng)，根據(jù)S_△ACE=S_梯形AODE-S_△AOC-S_△DCE列出函數(shù)解析式并配方成頂點(diǎn)式，從而得出最值情況；
（3）若要使△ACP是以AC為斜邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)P在線(xiàn)段AC的中垂線(xiàn)上，據(jù)此可先求出線(xiàn)段AC中垂線(xiàn)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式從而求得中垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷此時(shí)的交點(diǎn)能否使△ACP是以AC為斜邊的直角三角形，從而得出答案．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（4，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-8+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥y軸于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
則DE=x，DO=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，DC=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-2=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S_△ACE=S_梯形AODE-S_△AOC-S_△DCE
=$\frac{1}{2}$（x+4）（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）-$\frac{1}{2}$x（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）-$\frac{1}{2}$×4×2
=-x²+4x
=-（x-2）²+4，
則當(dāng)x=2時(shí)，S_△ACE取得最大值4；

（3）不存在，
如圖2，

∵點(diǎn)A（4，0）、C（0，2），
∴AC的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1），
設(shè)BC所在直線(xiàn)解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（4，0）、C（0，2）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴AC的中垂線(xiàn)的解析式為y-1=2（x-2），即y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}}\\{y=\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}}\\{y=-\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$，
若點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-4），
∵PA²+PC²=（4-$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$）²+（4-$\sqrt{41}$）²+（0-$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$）²+（2-$\sqrt{41}$+4）²=175-25$\sqrt{41}$，AC²=20，
∴PA²+PC²≠AC²，即△ABP不是等腰直角三角形，舍去；
若點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$，-$\sqrt{41}$-4），
∵PA²+PC²=（4-$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$）²+（4+$\sqrt{41}$）²+（0-$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$）²+（2+$\sqrt{41}$+4）²=175+25$\sqrt{41}$，AC²=20，
∴PA²+PC²≠AC²，即△ABP不是等腰直角三角形，舍去；
綜上，這樣的點(diǎn)P不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及線(xiàn)段中點(diǎn)公式、勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．