Question

7．如圖，在△ABC中，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑作半圓，交邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，且BD=EC．
（1）求證：AD=AE；
（2）如果BD=4，BO=$2\sqrt{5}$，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，OE，根據(jù)SSS定理得出△BOD≌△COE，再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接BE，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再AD=x，則AE=x，AB=BD+x=4+x，由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連接OD，OE，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{OB=OC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△COE（SSS），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴AD=AE；

（2）連接BE，
∵BO=2$\sqrt{5}$，BD=EC=2，BC是直徑，
∴BC=4$\sqrt{5}$，∠BEC=90°，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}-{4}^{2}}$=8．
設(shè)AD=x，則AE=x，AB=BD+x=4+x，
∵AB²=AE²+BE²，即（4+x）²=x²+8²，
解得x=6．
∴AD=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．