Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動圓圓心Q從點O出發(fā)，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P從點A出發(fā)，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動．設運動時間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連結CD、QC．
（1）當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）當⊙Q經(jīng)過點A時，求⊙P被OB截得的弦長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=6，OB=8，

∴由勾股定理可得：AB=10，

由題意知：OQ=t=AP=t，AC=2t，

∵AC是⊙P的直徑，

∴∠CDA=90°，

∴CD//OB，

∴△ACD∽△ABO，

∴ = ，即 = ，

∴AD= t，

∵D與Q重合，

∴ t+t=6，

解得t=

（2）解：如圖，過點P作PE⊥OB于點E，⊙P與OB相交于點F、G，連接PF，

當⊙Q經(jīng)過A點時，OQ=OA﹣QA=4，

∴t= =4s，

∴PA=4，

∴BP=AB﹣PA=6，

∵∠PEB=∠O=90°，

∴PE//OA，

∴△PEB∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

∴PE= ，

∵PF=PA=4，

∴Rt△PEF中，由勾股定理可得EF= = ，

由垂徑定理可求知：FG=2EF= ，

故⊙P被OB截得的弦長為

【解析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對應邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，當Q經(jīng)過A點時，OQ=4，此時用時為4s，過點P作PE⊥OB于點E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．