Question

【題目】某竹制品加工廠根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型竹制品玩具未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第t個(gè)月，竹制品銷售量為P（單位：箱），P與t之間存在如圖所示函數(shù)關(guān)系，其圖象是線段AB（不含點(diǎn)A）和線段BC的組合．設(shè)第t個(gè)月銷售每箱的毛利潤為Q（百元），且Q與t滿足如下關(guān)系Q=2t+8（0≤t≤24）．

（1）求P與t的函數(shù)關(guān)系式（6≤t≤24）．

（2）該廠在第幾個(gè)月能夠獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？

（3）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)月毛利潤不低于40000且不高于43200元時(shí)，該月產(chǎn)品原材料供給和市場售最和諧，此時(shí)稱這個(gè)月為“和諧月”，那么，在未來兩年中第幾個(gè)月為和諧月？

Answer 1

【答案】（1）P＝﹣t+26（6≤t≤24）；（2）該廠在第11個(gè)月能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤是45000元；（3）未來兩年中的和諧月有：6，7，8，14，15，16這六個(gè)月．

【解析】

（1）當(dāng)6≤t≤24時(shí)，設(shè)P與t的函數(shù)關(guān)系式為P=kt+b，把點(diǎn)B（6，20）和C（24，2）代入求出k和b，即可得解；

（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為P=mt+n，將A（0，14），B （6，20）代入求出m和n，分0＜t＜6和6≤t≤24來討論求解；

（3）分0＜t＜6和6≤t≤24，結(jié)合（2）中求得的毛利潤函數(shù)，列不等式組可解．

（1）當(dāng)6≤t≤24時(shí)，設(shè)P與t的函數(shù)關(guān)系式為P=kt+b．

∵該圖象過點(diǎn)B（6，20）和C（24，2），

∴，

∴，

∴P與t的函數(shù)關(guān)系式為P=﹣t+26（6≤t≤24）．

（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為P=mt+n，將A（0，14），B （6，20）代入得：

，

∴，

∴直線AB的函數(shù)解析式為P=t+14，

∴當(dāng)0＜t＜6時(shí)，利潤L=QP=（2t+8）（t+14）=2t2+36t+112=2（t+9）2﹣50．

當(dāng)t=5時(shí)，利潤L取最大值為2（5+9）2﹣50=342（百元）=34200（元）；

當(dāng)6≤t≤24時(shí)，利潤L=QP=（2t+8）（﹣t+26）=﹣2t2+44t+208=﹣2（t﹣11）2+450．

450百元=45000元，

∴當(dāng)t=11時(shí)，利潤L有最大值，最大值為45000元．

綜上所述：該廠在第11個(gè)月能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤是45000元．

（3）∵40000元=400百元，43200元=432百元，

∴或

第一個(gè)不等式無解，第二個(gè)不等式的解為6≤t≤8或14≤t≤16，

∴未來兩年中的和諧月有：6，7，8，14，15，16這六個(gè)月．