Question

【題目】如果一個(gè)三角形能用一條直線將其分割出兩個(gè)等腰三角形，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“活三角形”，這條直線稱(chēng)為該“活三角形”的“生命線”．

（1）小明在研究“活三角形”問(wèn)題時(shí)（如圖），他發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C時(shí)，這個(gè)△ABC一定是“活三角形”．點(diǎn)D在BC邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD，他猜測(cè)：當(dāng)∠DAC = ∠C時(shí)，AD就是這個(gè)三角形的“生命線”，請(qǐng)你幫他說(shuō)明AD是△ABC的“生命線”的理由．

（2）如小明研究結(jié)果可以總結(jié)為：有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍時(shí)，該三角形是一個(gè)“活三角形”．

請(qǐng)通過(guò)自己操作研究，并根據(jù)上訴結(jié)論，總結(jié)“活三角形”的其他特征．

（注意從三角形邊、角特征及相互間關(guān)系總結(jié)）

，該三角形是一個(gè)“活三角形”．

，該三角形是一個(gè)“活三角形”．

（3）如果一個(gè)等腰三角形是一個(gè)“活三角形”那么它的頂角大小為： 度．（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角2倍時(shí)；有一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)；（3）90°，108°，36°，

【解析】

（1）證明△ADC和△ABD為等腰三角形即可；

（2）作∠CAD=∠C，則∠ADB=2∠C，當(dāng)∠ABD=2∠C時(shí)，∠ABD=∠ADB，則△ABC為“活三角形”；由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易證直角三角形為“活三角形”；

（3）分四種情況討論，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°建立方程，解方程求出頂角即可．

解：（1）∵∠DAC =∠C，

∴∠ADB=2∠C，△ADC為等腰三角形，

又∵∠BAC=3∠C，

∴∠BAD=2∠C=∠ADB，

∴△ABD為等腰三角形，

∴AD是△ABC的“生命線”；

（2）∠ADB=2∠C，當(dāng)∠ABD=2∠C時(shí)，∠ABD=∠ADB，則△ABC為“活三角形”，

即：有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍時(shí)，該三角形是一個(gè)“活三角形”；

當(dāng)∠BAC=90°，AD為斜邊BC的中線，則△ABC為“活三角形”，

即：有一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)，該三角形是一個(gè)“活三角形”，

故答案為：有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍時(shí)；有一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)

（3）①由（2）可知，直角三角形為“活三角形”，故等腰直角三角形也為“活三角形”，即頂角為90°；

②如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，

則有，

解得：，

頂角∠BAC=108°；

③如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，

則有，。，

解得：，

頂角∠BAC=36°；

④如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，

則，

解得：，

即頂角∠BAC=，

綜上：頂角為90°，108°，36°，．