Question

【題目】如圖，將一個等腰Rt△ABC對折，使∠A與∠B重合，展開后得折痕CD，再將∠A折疊，使C落在AB上的點F處，展開后，折痕AE交CD于點P，連接PF、EF，下列結論：①tan∠CAE= ﹣1；②圖中共有4對全等三角形；③若將△PEF沿PF翻折，則點E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四邊形DFEP=S△APF ． 正確的個數(shù)是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①正確．作EM∥AB交AC于M． ∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE= ∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，設CM=CE=a，則ME=AM= a，
∴tan∠CAE= = = ﹣1，故①正確，②正確．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正確，③正確．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若將△PEF沿PF翻折，則點E一定落在AB上，故③正確．④正確．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正確，⑤錯誤．∵△APC≌△APF，
∴S△APC=S△APF ，
假設S△APF=S四邊形DFPE ， 則S△APC=S四邊形DFPE ，
∴S△ACD=S△AEF ，
∵S△ACD= S△ABC ， S△AEF=S△AEC≠ S△ABC ，
∴矛盾，假設不成立．
故⑤錯誤．

①正確．作EM∥AB交AC于M．設CM=CE=a，則ME=AM= a，根據tan∠CAE= 即可判斷．②正確．根據△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判斷．③正確．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判斷．④正確．只要證明∠CPE=∠CEP=67.5°，⑤錯誤．假設結論成立，推出矛盾即可．