Question

【題目】回答下列問題
（1）問題發(fā)現(xiàn) 如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)．

（2）拓展探究 如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°﹣∠CDB=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°

（2）解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM

【解析】（1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形證出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，從而證出∠AEB=60°；（2）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后證出DM=ME=CM即可．
【考點精析】利用等邊三角形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．