Question

2．問題探究：已知，如圖①，△AOB中，OB=3，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得△A′OB′，連接BB′，可知BB′=3$\sqrt{2}$．
應用：如圖②，已知邊長為2$\sqrt{3}$的正△ABC，以AB為邊向外作一個正△ABD，點P為△ABC內部一點，連接AP，并將AP順時針旋轉60°，得到線段AQ，連接DQ，BP，CP．
（1）根據(jù)題意，完成圖形；
（2）求證：∠ABP=∠ADQ；
（3）求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 探究：由旋轉的性質，可得△BOB'是等腰直角三角形，據(jù)此求得BB'的長；
應用：（1）根據(jù)題意進行畫圖即可；
（2）先判定△DAQ≌△BAP（SAS），即可得出∠ABP=∠ADQ；
（3）連接PQ，當C，P，Q，D共線時，CP+PQ+QD=CD（最短），再求得CD=6，即可得出PA+PB+PC的最小值為6．

解答 解：由旋轉可得，OB=OB'=3，∠BOB'=90°，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∴BB'=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$；

應用：（1）如右圖所示：

（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD=60°，AD=AB，
∵AP順時針旋轉60°，得到線段AQ，
∴∠PAQ=60°，AQ=AP，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP，
在△DAQ和△BAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AP}\\{∠DAQ=∠BAP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAQ≌△BAP（SAS），
∴∠ABP=∠ADQ；

（3）如圖②，連接PQ，
∵∠PAQ=60°，AQ=AP，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP=PQ，
由（2）可得，△DAQ≌△BAP，
∴BP=QD，
當C，P，Q，D共線時，CP+PQ+QD=CD（最短），
此時，PA+PB+PC最短，
設AB與CD交于點O，
∵AC=AD=2$\sqrt{3}$，∠CAD=120°，
∴Rt△AOC中，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴CO=$\sqrt{3}$AO=3，
同理可得，OD=3，
∴CD=6，
∴PA+PB+PC的最小值為6．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是根據(jù)全等三角形的對應邊相等進行求解；解決第（3）問時，需要構造等邊三角形，依據(jù)兩點之間線段最短進行計算．