Question

2．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于C點，頂點為D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF⊥x軸，交拋物線于點F．設P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PF的長；
②當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形，請說明理由
③當m為何值時，△PCF為直角三角形，直接寫出結論．

Answer 1

分析 （1）令拋物線解析式中y=0，得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論；
（2）①令拋物線解析式中x=0求出y值，即可得出點C的坐標，結合點B、C的坐標利用待定系數法求出直線BC的解析式，再由點P的橫坐標為m找出點F、P的坐標，由此即可得出結論；
②利用配方法求出拋物線的對稱軸以及頂點D的坐標，根據點D坐標即可得出點E坐標以及線段DE的長度，再根據平行四邊形的性質可得出DE=PF，由此可得出關于m的一元二次方程，解方程即可得出結論；
③由PF⊥x軸可得出若要△PCF為直角三角形，則∠CFP=90°或∠PCF=90°．當∠CFP=90°時，可得出點C、F關于對稱軸對稱，根據點C的坐標以及拋物線對稱軸的解析式即可得出m值；當∠PCF=90°時結合點B、C的坐標可得出△PCF為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得出關于m的方程，解之即可得出m的值．綜上即可得出結論．

解答 解：（1）令y=-x²+2x+3中y=0，
則有-x²+2x+3=（3-x）（x+1）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵點A在點B的左側，
∴點A（-1，0），點B（3，0）．
（2）①令y=-x²+2x+3中x=0，則y=3，
∴點C（0，3）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
∵點P的橫坐標為m，PF⊥x軸，
∴點P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3），
∴PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0≤m≤3）．
②∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點D（1，4），
將x=1代入y=-x+3中，得：y=2，
∴點E（1，2），
∴DE=4-2=2．
∵四邊形PEDF為平行四邊形，
∴DE=PF，即2=-m²+3m，
解得：m₁=1（舍去），m₂=2，
∴當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
③∵PF⊥x軸，
∴∠CPF＜90°，
若要△PCF為直角三角形，則∠CFP=90°或∠PCF=90°．
（i）當∠CFP=90°時，
∵PF⊥x軸，∠CFP=90°，
∴CF∥x軸，
∴點C、F關于對稱軸對稱，
∵點C（0，3），拋物線對稱軸為x=1，
∴m=2；
（ii）當∠PCF=90°時，
∵點B（3，0），點C（0，3），∠PCF=90°，
∴∠CPF=∠OCB=45°，
∴△PCF為等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$CP=-m²+3m=2m，
解得：m=1或m=0（舍去）．
綜上所述：當m為1或2時，△PCF為直角三角形．

點評 本題考查了解一元二次方程、待定系數法求函數解析式、平行四邊形的性質以及直角三角形的性質，解題的關鍵是：（1）解關于x的一元二次方程；（2）①求出直線BC的解析式；②根據平行四邊形的性質找出關于m的一元二次方程；③根據二次函數的對稱性（等腰直角三角形的性質）解決問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用一次（或二次）函數圖象上點的坐標特征找出點的坐標是關鍵．