Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為(4，0)，點C坐標為(0，4)，點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)點F是拋物線上的動點，當∠FBA=2∠BDE時，求點F的坐標；

(3)若點P是x軸上方拋物線上的動點，以PB為邊作正方形PBGH，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨著改變，當頂點G或H恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+4；；(2)F(﹣，﹣)或(，)；(3)P的橫坐標為或2或0或2﹣

【解析】

(1)將點B、C的坐標代入拋物線表達式，即可求出解析式；將解析式化為頂點式即可得出點D的坐標；
(2)在線段DE上取點M，使MD=MB，此時∠EMB=2∠BDE，則∠FBA=∠EMB，即可求解；
(3)分點P在對稱軸右側、點P在對稱軸左側兩種情況，利用三角形全等求解即可．

(1)將點B(4，0)、C(0，4)的坐標代入拋物線表達式得：

，解得：，

故拋物線的表達式為：y=-x2+x+4=-(x﹣1)2+；

點D的坐標為

(2)如圖1，在線段DE上取點M，使MD=MB，此時∠EMB=2∠BDE，

設ME=a，

由(1)得頂點D的坐標為(1，)，

∵點B、C的坐標分別為(4，0)、(0，4)，

∴BE= BO-EO=4-1=，

∴BM=MD=DE-ME=，

在Rt△BME中，ME2+BE2=BM2，即a2+32=(﹣a)2，解得：a=，

∴tan∠EMB==，

過點F作FN⊥x軸于點N，設點F(m，﹣m2+m+4)，則FN=|﹣m2+m+4|，

∵∠FBA=2∠BDE，

∴∠FBA=∠EMB，

∴tan∠FBA=tan∠EMB=，

∵點B(4，0)、點E(1，0)，

∴BE=3，BN=4﹣m，

∴tan∠FBA=，

解得：m=4(舍去)或﹣或，

故點F(﹣，﹣)或(，)；

(3)①當點P在對稱軸右側時，

(Ⅰ)當點H在y軸上時，如圖2，

∵∠MPB+∠CPH=90°，∠CPH+∠CHP=90°，

∴∠CHP=∠MPB，

∵∠BMP=∠PNH=90°，PH=BP，

∴△BMP≌△PNH(AAS)，

∴MB=PC，

設點P(x，y)，則x=y=﹣x2+x+4，

解得：x=或x=(舍去負值)，

故點P的橫坐標為；

(Ⅱ)當點G在y軸上時，如圖3，

過點P作PR⊥x軸于點R，

同理可得：△PRB≌△BOG(AAS)，

∴PR=OB=4，

即yP=4=﹣x2+x+4，

解得：x=2；

②當點P在對稱軸左側時，

同理可得：點P的橫坐標為0或2﹣；

綜上，點P的橫坐標為或2或0或2﹣．