Question

17．在△ABC中，已知∠A=α．
（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D．
①當(dāng)α=70°時(shí)，∠BDC度數(shù)=125度（直接寫(xiě)出結(jié)果）；
②∠BDC的度數(shù)為90°+$\frac{1}{2}$α（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，若∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACE角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，求∠BFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線(xiàn)BC為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線(xiàn)與∠GCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)角平分線(xiàn)定義以及三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可解決問(wèn)題．
②根據(jù)角平分線(xiàn)定義以及三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可解決問(wèn)題．
（2）由∠BFC=∠FCE-∠FBC=$\frac{1}{2}（∠ACE-∠ABC）$由此即可解決問(wèn)題．
（3）利用（2）的結(jié)論即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）①125°；
②結(jié)論：${90°}+\frac{1}{2}α$，
理由：∵$∠DBC=\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$α．
故答案分別為125°，90°+$\frac{1}{2}$α．
（2）∵BF和CF分別平分∠ABC和∠ACE
∴$∠FBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠FCE=\frac{1}{2}∠ACE$，
∴∠BFC=∠FCE-∠FBC）=$\frac{1}{2}（∠ACE-∠ABC）$=$\frac{1}{2}∠A$
即$∠BFC=\frac{1}{2}α$．

（3）由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：$∠BGC=∠BFC=\frac{1}{2}α$，
由（1）②可得$∠BMC={90°}+\frac{1}{2}∠BGC$，
∴$∠BMC={90°}+\frac{1}{4}α$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題，記住本題的兩個(gè)基本結(jié)論，在以后學(xué)習(xí)中會(huì)有幫助的，屬于中考�？碱}型．