Question

7．如圖1，將邊長為1的正方形ABCD壓扁為邊長為1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小為α，面積記為S．

（1）請補(bǔ)全表：

α	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
S	$\frac{1}{2}$			1		$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

（2）填空：
由（1）可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著∠A大小的變化而變化，不妨把單位菱形的面積S記為S（α）．例如：當(dāng)α=30°時(shí)，S=S（30°）=$\frac{1}{2}$；當(dāng)α=135°時(shí)，S=S（135°）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．由上表可以得到S（60°）=S（120°）；S（150°）=S（30°），…，由此可以歸納出S（180°-α）=（α°）．
（3）兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置，AD=$\sqrt{2}$，∠AOB=α，試探究圖中兩個(gè)帶陰影的三角形面積是否相等，并說明理由（注：可以利用（2）中的結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）過D作DE⊥AB于點(diǎn)E，當(dāng)α=45°時(shí)，可求得DE，從而可求得菱形的面積S，同理可求當(dāng)α=60°時(shí)S的值，當(dāng)α=120°時(shí)，過D作DF⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)F，則可求得DF，可求得S的值，同理當(dāng)α=135°時(shí)S的值；
（2）根據(jù)表中所計(jì)算出的S的值，可得出答案；
（3）將△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，將△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的結(jié)論，可求得△AOB和△COD的面積，從而可求得結(jié)論．

解答 解：
（1）當(dāng)α=45°時(shí)，如圖1，過D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

則DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=AB•DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理當(dāng)α=60°時(shí)S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)α=120°時(shí)，如圖2，過D作DF⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)F，

則∠DAE=60°，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=AB•DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理當(dāng)α=150°時(shí)，可求得S=$\frac{1}{2}$，
故表中依次填寫：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知S（60°）=S（120°），
S（150°）=S（30°），
∴S（180°-α）=S（α）
故答案為：120；30；α；
（3）兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等．
證明：如圖3將△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，將△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．

∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_菱形AMBO=$\frac{1}{2}$S（α）
S_△CDO=$\frac{1}{2}$S_菱形OCND=$\frac{1}{2}$S（180°-α）
由（2）中結(jié)論S（α）=S（180°-α）
∴S_△AOB=S_△CDO．

點(diǎn)評 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有菱形的性質(zhì)和面積、解直角三角形及轉(zhuǎn)化思想等．在（1）中求得菱形的高是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用好（1）中的結(jié)論即可，在（3）中把三角形的面積轉(zhuǎn)化成菱形的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較基礎(chǔ)，難度不大．