Question

【題目】在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，點(diǎn)D為BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接DE．

（1）如圖1，點(diǎn)E落在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠EDC= （度）直接填空．

（2）如圖2，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，DE⊥AC時(shí)，AB=4 ，求DE的值．

（3）如圖3，點(diǎn)F為線段DE中點(diǎn)，AB=，求出動(dòng)點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）DE=；（3）

【解析】

（1）利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，構(gòu)建直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出BM、CM，設(shè)設(shè)BH=DH=x，利用三角函數(shù)列出方程，求出BD，進(jìn)而求得答案；

（3）根據(jù)主從聯(lián)動(dòng)的原理，可知點(diǎn)F的軌跡是線段BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，再縮短為根號(hào)二分之一，求出BC即可.

解：（1）如圖1，

∵將線段AD繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，

∴AE=AD，∠AED=∠ADE=45°

∵∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠AED=90°

故答案為：90°

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，

在Rt△ABM中，∠B=45°, AM⊥BC，AB=4，

∴AM=BM=

在Rt△DHB中，∠B=45°, DH⊥AB，設(shè)BH=DH=x，

∴BD=

在Rt△AMC中，∠AMC=90°, ∠ACB=30°，

∴

∴

∴CM=

∵DE⊥AC，AE=AD

∴AC是線段DE的垂直平分線，

∴CD=CE，∠ECA=∠DCA=30°

∴∠ECD=60°

∴△CDE是等邊三角形

∴∠EDC=60°,CD=DE

∴∠ADH=180°-∠EDC-∠ADE-∠BDH=30°

在Rt△ADH中，AH=4-x，

∴tan∠ADH=

∴AH=

∴=4-x，

∴

∴BD=

∴DM=BD-BM==

∴CD=CM-DM=-()=

∴DE=

（3）如圖3，連接AF,過A作AM⊥BC,

∵△ADE為等腰直角三角形，F為ED中點(diǎn)，

∴∠DAF=45°，

∴AF相當(dāng)于AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了45°，再變?yōu)?/span>AD，

又∵點(diǎn)D軌跡為BC，∴點(diǎn)F的軌跡為BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再變?yōu)?/span>BC,

在等腰Rt△ABM中，AB=，∴AM=BM=

在Rt△ACM中，∠ACM=30°，

∴tan30°=,

∴CM=

∴BC=CM+BM=

∴點(diǎn)F的路徑為：BC=

所以點(diǎn)F的路徑為：