Question

已知拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）對于任意實數(shù)m，點M（m，-3）是否在該拋物線上？請說明理由；
（2）求∠ABC的度數(shù)；
（3）若點P在拋物線上，且使得△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，試求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點M的坐標代入解析式，運用反證法就可以證明出結(jié)論．
（2）由拋物線的解析式可以求出OC、OB的值，得出OC=OB，由△BOC是直角三角形，就可以求出∠ABC=45°．
（3）由BC是直角邊，當∠PBC=90°時可以求出此時P的值，當∠PCB=90°時，可以求出P1C的解析式，根據(jù)拋物線與直線的交點坐標而求出此時P₁的坐標．

解答：解：（1）假如點M（m，-3）是在該拋物線上，
∴-3=m²-4m+3，
∴m²-4m+6=0．
∴△=（-4）²-4×1×6=-8＜0，
∴此方程無實數(shù)解，
∴對于任意實數(shù)m，點M（m，-3）是不在該拋物線上．

（2）當y=0時，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，由于點A在點B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（3，0）．
當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∴OB=OC=3．
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
即∠ABC=45°．

（3）假設存在△PBC是以BC為直角邊的直角三角形．當∠PBC=90°時，∵∠ABC=45°，
∴∠PBO=45°，
∴P（2，-1）；
當∠PCB=90°時，設直線PC交x軸于Q，
∵∠ABC=45°，
∴∠BQC=45°，
∴OQ=OC=3，Q（-3，0），
設直線PC的解析式為y=kx+b，則，

3=b 0=-3k+b

，
∴

k=1 b=3

，
∴直線的解析式為：y=x+3．
∵點P在拋物線上，
∴

y=x+3 y=x2-4x+3

，
解得．x₁=0（舍去），x₂=5
∴當x=5時，y=8，此時P₁（5，8）
∴存在點P（2，-1）或（5，8）使得△PBC是以BC為直角邊的直角三角形．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運用，根的判別式的運用，直角三角形的性質(zhì)及運用．