Question

【題目】已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A.a＞0，x＞0，f（x）≥0
B.a＞0，x＞0，f（x）≤0
C.a＞0，x＞0，f（x）≥0
D.a＞0，x＞0，f（x）≤0

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0， ∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），
令f′（x）=0，解得x= ，
當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x= ，函數(shù)有最小值，最小值為f（ ）= e2a﹣1+a
∴f（x）≥f（ ）= e2a﹣1+a，
若f（x）≥0恒成立，
只要 e2a﹣1+a≥0，
設(shè)g（a）= e2a﹣1+a，
∴g′（a）=1﹣e2a﹣1 ，
令g′（a）=0，解得a=
當(dāng)a∈（ ，+∞）時(shí)，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增
∴g（a）＜g（ ）=0，
∴ e2a﹣1+a≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a= 時(shí)取等號(hào)，存在唯一的實(shí)數(shù)a= ，使得對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正確，
當(dāng)a≠ 時(shí)，f（x）＜0，故C錯(cuò)誤
故選：C
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用全稱命題的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握全稱命題：，，它的否定：，;全稱命題的否定是特稱命題．