Question

3．如圖，直線l₁的函數解析式為y=-2x+4，且l₁與x軸交于點D，直線l₂經過點A、B，直線l₁、l₂交于點C．
（1）求直線l₂的函數解析式；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直線l₂上是否存在點P，使得△ADP面積是△ADC面積的2倍？如果存在，請求出P坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線l₂的函數解析式；
（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出點D的坐標，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點C的坐標，再根據三角形的面積即可得出結論；
（3）假設存在，根據兩三角形面積間的關系|y_P|=2|y_C|=4，再根據一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）設直線l₂的函數解析式為y=kx+b，
將A（5，0）、B（4，-1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{4k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的函數解析式為y=x-5．
（2）聯(lián)立兩直線解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點C的坐標為（3，-2）．
當y=-2x+4=0時，x=2，
∴點D的坐標為（2，0）．
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•|y_C|=$\frac{1}{2}$×（5-2）×2=3．
（3）假設存在．
∵△ADP面積是△ADC面積的2倍，
∴|y_P|=2|y_C|=4，
當y=x-5=-4時，x=1，
此時點P的坐標為（1，-4）；
當y=x-5=4時，x=9，
此時點P的坐標為（9，4）．
綜上所述：在直線l₂上存在點P（1，-4）或（9，4），使得△ADP面積是△ADC面積的2倍．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求一次函數解析式，根據給定點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．