Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

（1）如圖（1），連接AF、CE．

①四邊形AFCE是什么特殊四邊形？說明理由；

②求AF的長(zhǎng)；

（2）如圖（2），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） ①菱形，理由見解析；②AF＝5；（2） 秒．

【解析】

（1）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；

②根據(jù)勾股定理即可求AF的長(zhǎng)；

（2）分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上；Q點(diǎn)在ED上時(shí)；才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．

（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE＝OF(AAS)．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．

②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF＝CF＝xcm，則BF＝(8﹣x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得

16+(8﹣x)2＝x2，

解得：x＝5，

∴AF＝5．

（2）由作圖可以知道，P點(diǎn)AF上時(shí)，Q點(diǎn)CD上，此時(shí)A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)AB上時(shí)，Q點(diǎn)DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．

∴只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

∴PC＝QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，

∴5t＝12﹣4t，

解得：t＝．

∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t＝秒．