Question

9．在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，連接AN，CM．
（1）如圖①，求證：四邊形ANCM是平行四邊形；
（2）如圖②，連接MN，DN，若∠AND=90°，求證：MN=NC；
（3）如圖③，在（2）的條件下，過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，EP=1，且∠1=∠2，求AN的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形ABCD，得到一組對邊間關系，由中點可得到一組對邊平行且相等，從而判定四邊形ANCM是平行四邊形；
（2）可利用直角三角形斜邊的中線與斜邊的關系，進行證明；
（3）先判定四邊形MNCD是平行四邊形，再判斷其為菱形，利用菱形的性質，判斷△MNC為等邊三角形，從而求得∠1=∠2=∠MND=30°，在RT△NEP中，利用特殊角，求出EN，進而求出線段AN的長．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M，N分別是AD、BC的中點，
∴AM=CN，AM∥CN，
所以四邊形ANCM是平行四邊形；
（2）證明：∵∠AND=90°，AM=DM，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=MD，
∵MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=CN，
∴MN=NC；
（3）解：∵MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=CN，MD∥CN
∴四邊形MNCD是平行四邊形，
由（2）知MN=NC
∴?MNCD是菱形，
∴∠NMC=∠DMC，DN⊥MC，∠DNM=∠DNC，
∵∠1+∠DMC=∠1+∠NMC=∠2+∠ENC=90°，
∴∠NMC=∠MNC，
∴MN=CN=MC，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MND=∠2=∠1=30°，
在RT△NEP中，∵EP=1，
∴NE=$\sqrt{3}$，
所以MN=MC=2$\sqrt{3}$，
∵四邊形AMCN是平行四邊形，
∴AN=MC=2$\sqrt{3}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考察了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定與性質、直角三角形的斜邊中線與斜邊的關系、等邊三角形的性質和判定以及相似三角形的性質和判定，利用直角三角形中30°的角所對的直角邊與斜邊的關系是求解的關鍵．