Question

4．有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD，MF，若BD=8cm，∠ADB=30°．

（1）試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（2）把△BCD與△MEF剪去，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，邊AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，求β的度數(shù)；
（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F(xiàn)₂M₂與AD交于點(diǎn)P，A₂M₂與BD交于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時(shí)，求平移的距離．

Answer 1

分析 （1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大小．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)AK=FK時(shí)，②當(dāng)AF=FK時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（3）求平移的距離是A₂A的長(zhǎng)度．在矩形PNA₂A中，A₂A=PN，只要求出PN的長(zhǎng)度就行．用△DPN∽△DAB得出：$\frac{PN}{AB}$=$\frac{DP}{DA}$，解得A₂A的大小．

解答 解：（1）結(jié)論：BD=MF，BD⊥MF．
理由：如圖1中，延長(zhǎng)FM交BD于點(diǎn)N，

由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．

（2）如圖2中，

①當(dāng)AK=FK時(shí)，∠KAF=∠F=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②當(dāng)AF=FK時(shí)，∠FAK=$\frac{180°-∠F}{2}$=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度數(shù)為60°或15°

（3）如圖3中，

由題意得矩形PNA₂A．設(shè)A₂A=x，則PN=x，
在Rt△A₂M₂F₂中，∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=4 $\sqrt{3}$，
∴AF₂=4 $\sqrt{3}$-x．
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂•tan30°=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∴PD=AD-AP=4 $\sqrt{3}$-4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．
∴$\frac{PN}{AB}$=$\frac{DP}{DA}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{4\sqrt{3}-4+\frac{\sqrt{3}}{3}x}{4\sqrt{3}}$，解得x=6-2 $\sqrt{3}$．
即A₂A=6-2 $\sqrt{3}$．
答：平移的距離是（6-2 $\sqrt{3}$）cm．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合性比較強(qiáng)的幾何綜合試題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)注意使用相等線段的代換，屬于中考?jí)狠S題．