Question

如圖，已知一次函數(shù)y =  -  x +7與正比例函數(shù)y  =   x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l∥y軸．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動；同時直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒.

①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得，解得 ，∴A(3，4) .

令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.

（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動時，0≤t＜4.

由S_△APR=S_梯形COBA-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t²-8t+12=0, 解之得t₁=2,t₂=6（舍）

當(dāng)P在CA上運(yùn)動，4≤t＜7.

由S_△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）

∴當(dāng)t=2時，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8.

②當(dāng)P在OC上運(yùn)動時，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

當(dāng)AP =AQ時， （4-t）²+3²=2(4-t)²,

整理得，t²-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

當(dāng)AP=PQ時，（4-t）²+3²=(7-t)²,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

當(dāng)AQ=PQ時，2（4-t）²=(7-t)²

整理得，t²-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

當(dāng)P在CA上運(yùn)動時，4≤t＜7. 過A作AD⊥OB于D,則AD=BD=4.

設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．

當(dāng)AP=AQ時，7-t = (t-4)，解得t = .

當(dāng)AQ=PQ時，AE＝PE，即AE= AP

得t-4= (7-t)，解得t =5.

當(dāng)AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F

AF= AQ = ×(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP

即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .

∴綜上所述，t=1或 或5或 時，△APQ是等腰三角形.