Question

【題目】圖1和圖2，半圓O的直徑AB=4，點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合）為半圓上一點(diǎn)，將圖形沿著BP折疊，分別得到點(diǎn)A，O的對(duì)稱點(diǎn)A′，O′，設(shè)∠ABP=α．

（1）如圖1，當(dāng)α=22.5°時(shí)，過點(diǎn)A′作A′C∥AB，判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）如圖2，當(dāng)α=　 　時(shí)，點(diǎn)O′落在上．當(dāng)α=　 　時(shí)，BA′與半圓O相切．

（3）當(dāng)線段B O′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)B時(shí)，α的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）相離(2) 30°；45° (3) 0°＜α＜30°或45°≤α＜90°

【解析】分析：（1）過O作OD⊥A′C于點(diǎn)D，交A′B于點(diǎn)E，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求得DE+OE=A′B=AB＞OA，可判定A′C與半圓相離；

（2）當(dāng)O′在上時(shí)，連接AO′，則可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°，當(dāng)BA′與半圓相切時(shí)，可知OB⊥A′B，則可知α=45°；

（3）利用（2）可知當(dāng)α=30°時(shí)，線段O′B與圓交于O′，當(dāng)α=45°時(shí)交于點(diǎn)B，結(jié)合題意可得出滿足條件的α的范圍．

詳解：（1）相離，理由如下：

如圖1，過O作OD過O作OD⊥A′C于點(diǎn)D，交A′B于點(diǎn)E，

∵α=22.5°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=45°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB＞OA，∴A′C與半圓O相離；

（2）當(dāng)O′在上時(shí)，如圖2，

連接AO′，則可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°；

當(dāng)BA′與半圓O相切時(shí)，則OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°．

故答案為：30°；45°；

（3）∵點(diǎn)P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知當(dāng)α增大到30°時(shí)，點(diǎn)O′在半圓上，∴當(dāng)0°＜α＜30°時(shí)點(diǎn)O′在半圓內(nèi)，線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B；

當(dāng)α增大到45°時(shí)BA′與半圓相切，即線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B．

當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B，但是點(diǎn)P，B不重合，∴α＜90°，∴當(dāng)45°≤α＜90°線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B．

綜上所述：0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

故答案為：0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．